文章目录
- 初等函数
- 二次函数
- 指数函数
- 幂函数
- 对数函数
- 反函数
- 分段函数
初等函数
基本初等函数分为如下5类：
- 幂函数，如
y
=
x
μ
y = x^{\mu}
y=xμ。 - 指数函数，如
y
=
a
x
y = a^x
y=ax。 - 对数函数，如
y
=
l
o
g
a
x
y = log_{a}x
y=logax。 - 三角函数，如
y
=
s
i
n
x
y = sin \; x
y=sinx。 - 反三角函数，如
y
=
a
r
c
s
i
n
x
y = arcsin \; x
y=arcsinx。
初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。
二次函数
一般地，把形如
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
(
a
≠
0
)
y = ax^2 + bx + c \; (a \neq 0)
y=ax2+bx+c(a=0)的函数叫做二次函数，其中
a
a
a称为二次项系数，
b
b
b为一次项系数，
c
c
c为常数项。x为自变量，y为因变量。
二次函数的图像形如物体抛射时所经过的路径，我们把它叫做抛物线。对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。顶点是抛物线的最高点或最低点。
当
a
>
0
a > 0
a>0时，抛物线
y
=
a
x
2
y = ax^2
y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点，开口向上，顶点是抛物线的最低点，
a
a
a越大，抛物线的开口越小。
当
a
<
0
a < 0
a<0时，抛物线
y
=
a
x
2
y = ax^2
y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点，开口向下，顶点是抛物线的最高点，
∣
a
∣
\left | a \right |
∣a∣越大，抛物线的开口越小。
抛物线
y
=
a
x
2
+
k
y = ax^2 + k
y=ax2+k的图像可由
y
=
a
x
2
y = ax^2
y=ax2图像向上或向下平移得到：当
k
>
0
k > 0
k>0，向上平移；当
k
<
0
k < 0
k<0，向下平移。
抛物线
y
=
a
x
2
+
k
y = ax^2 + k
y=ax2+k的性质：
- 当
a
>
0
a > 0
a>0时，开口向上；当a
<
0
a < 0
a<0时，开口向下。 - 对称轴是
y轴。 - 顶点坐标是
(
0
,
k
)
(0, \; k)
(0,k)。 -
∣
a
∣
\left | a \right |
∣a∣越大，开口越小。
抛物线
y
=
a
(
x
−
h
)
2
y = a(x - h)^2
y=a(x−h)2的性质：
- 当
a
>
0
a > 0
a>0时，开口向上；当a
<
0
a < 0
a<0时，开口向下。 - 对称轴是
x
=
h
x = h
x=h。 - 顶点坐标是
(
h
,
0
)
(h, \; 0)
(h,0)。 -
∣
a
∣
\left | a \right |
∣a∣越大，开口越小。
抛物线左右移动的原则是左加右减：
- 把抛物线
y
=
−
1
2
x
2
\displaystyle{y = -\frac{1}{2}x^2}
y=−21x2向左平移1个单位，就得到抛物线y
=
−
1
2
(
x
+
1
)
2
\displaystyle{y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2}
y=−21(x+1)2。 - 把抛物线
y
=
−
1
2
x
2
\displaystyle{y = -\frac{1}{2}x^2}
y=−21x2向右平移1个单位，就得到抛物线y
=
−
1
2
(
x
−
1
)
2
\displaystyle{y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2}
y=−21(x−1)2。
抛物线
y
=
a
(
x
−
h
)
2
+
k
y = a(x - h)^2 + k
y=a(x−h)2+k的性质：
- 当
a
>
0
a > 0
a>0时，开口向上；当a
<
0
a < 0
a<0时，开口向下。 - 对称轴是
x
=
h
x = h
x=h。 - 顶点坐标是
(
h
,
k
)
(h, \; k)
(h,k)。 -
∣
a
∣
\left | a \right |
∣a∣越大，开口越小。
把函数
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
y = ax^2 + bx + c
y=ax2+bx+c通过配方法变成顶点式
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
+
b
2
a
)
2
+
4
a
c
−
b
2
4
a
\displaystyle{y = ax^2 + bx + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}}
y=ax2+bx+c=a(x+2ab)2+4a4ac−b2，其中对称轴是
x
=
−
b
2
a
\displaystyle{x = -\frac{b}{2a}}
x=−2ab，顶点是
(
−
b
2
a
,
4
a
c
−
b
2
4
a
)
\displaystyle{(-\frac{b}{2a}, \; \frac{4ac - b^2}{4a})}
(−2ab,4a4ac−b2)。
二次函数
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
y = ax^2 + bx + c
y=ax2+bx+c的图像与x轴交点的个数：
- 如果
b
2
−
4
a
c
>
0
b^2 - 4ac > 0
b2−4ac>0，则有2个交点。 - 如果
b
2
−
4
a
c
=
0
b^2 - 4ac = 0
b2−4ac=0，则有1个交点。 - 如果
b
2
−
4
a
c
<
0
b^2 - 4ac < 0
b2−4ac<0，则没有交点。
指数函数
一般地，函数
y
=
a
x
(
a
>
0
且
a
≠
1
)
y = a^x \; (a > 0且a \neq 1)
y=ax(a>0且a=1)叫做指数函数，函数的定义域是R。指数函数都经过点
(
0
,
1
)
(0, \; 1)
(0,1)。
当
a
>
1
a > 1
a>1时，指数函数都是增函数；当
0
<
a
<
1
0 < a < 1
0<a<1时，指数函数都是减函数。
幂函数
一般地，函数
y
=
x
α
y = x^\alpha
y=xα称为幂函数，其中x是自变量，
α
\alpha
α是常量。
当
α
>
0
\alpha > 0
α>0时，幂函数
y
=
x
α
y = x^\alpha
y=xα有下列性质：
- 图像都经过点
(
1
,
1
)
(1, \; 1)
(1,1)和(
0
,
0
)
(0, \; 0)
(0,0)。 - 函数的图像在区间
[
0
,
+
∞
)
[0, \; +\infty)
[0,+∞)上是增函数。
当
α
<
0
\alpha < 0
α<0时，幂函数
y
=
x
α
y = x^\alpha
y=xα有下列性质：
- 图像都经过点
(
1
,
1
)
(1, \; 1)
(1,1)。 - 函数的图像在区间
(
0
,
+
∞
)
(0, \; +\infty)
(0,+∞)上是减函数。
当
α
\alpha
α为奇数时，幂函数是奇函数；当
α
\alpha
α为偶数时，幂函数是偶函数。
对数函数
一般地，函数
y
=
l
o
g
a
x
(
a
>
0
且
a
≠
1
)
y = log_{a}x \; (a > 0且a \neq 1)
y=logax(a>0且a=1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是
(
0
,
+
∞
)
(0, \; +\infty)
(0,+∞)，值域为R。指数函数过点
(
0
,
1
)
(0, \; 1)
(0,1)。
当
a
>
1
a > 1
a>1时，具有如下性质：
- 当
0
<
x
<
1
0 < x < 1
0<x<1时，y
<
0
y < 0
y<0；当x
>
1
x > 1
x>1时，y
>
0
y > 0
y>0。 - 在
(
0
,
+
∞
)
(0, \; +\infty)
(0,+∞)上是增函数。
当
0
<
a
<
1
0 < a < 1
0<a<1时，具有如下性质：
- 当
0
<
x
<
1
0 < x < 1
0<x<1时，y
>
0
y > 0
y>0；当x
>
1
x > 1
x>1时，y
<
0
y < 0
y<0。 - 在
(
0
,
+
∞
)
(0, \; +\infty)
(0,+∞)上是减函数。
反函数
设函数
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y=f(x)的定义域是D，值域是f(D)，如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个x使得
g
(
y
)
=
x
g(y) = x
g(y)=x，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把该函数称为函数
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y=f(x)的反函数，记为
x
=
f
−
1
(
y
)
,
y
∈
f
(
D
)
x = f^{-1}(y), \; y \in f(D)
x=f−1(y),y∈f(D)。
函数
f
f
f的定义域D和值域f(D)恰好就是反函数
f
−
1
f^{-1}
f−1的值域和定义域，并且
f
−
1
f^{-1}
f−1的反函数就是
f
f
f，也就是说，函数
f
f
f和
f
−
1
f^{-1}
f−1互为反函数。
相对于反函数
y
=
f
−
1
(
x
)
y = f^{-1}(x)
y=f−1(x)来说，原来的函数
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y=f(x)称为直接函数。反函数和直接函数的图像关于直线
y
=
x
y = x
y=x对称。
分段函数
分段函数：对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数，例如
f
(
x
)
=
{
1
0
x
x
≤
1
x
x
>
1
f(x) = \left\{\begin{matrix} 10^x & x \le 1 \\ x & x > 1 \end{matrix}\right.
f(x)={10xxx≤1x>1。它是一个函数，而不是几个函数。
分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。
